Ancora un esercizio di topologia algebrica!
Definizione. Si dice che l'applicazione $i: A \rightarrow X$ è una cofibrazione se verifica la proprietà di estensione dell'omotopia (Homotopy Extension Property - HEP): per ogni $f:X\rightarrow Y$ e $H:A \rightarrow \mathrm{Map}(I,Y)$, $I=[0,1]$, esiste $\overline H:X \rightarrow \mathrm{Map}(I,Y)$ tale che il seguente diagramma è commutativo:
\[
\begin{array}[c]{ccc}
A&\stackrel{H}{\rightarrow}&\underline{\mathrm{Map}}(I,Y)\\
\downarrow\scriptstyle{i}&\stackrel{\overline H}{\nearrow}&\downarrow\scriptstyle{\mathrm{ev}_0}\\
X&\stackrel{f}{\rightarrow}&Y
\end{array}
\]
($\underline{\mathrm{Map}}(I,Y)$ denota lo spazio (topologico) delle applicazione da $I$ in $Y$)
Equivalentemente, per ogni $f:X\rightarrow Y$ e ogni omotopia $H:f\big|_A \simeq g$, esistono $\overline g:X\rightarrow Y$ e $\overline H:f \simeq \overline g$ tale che $\overline H$ sia estensione di $H$.
Esercizio. Provare che se $A \hookrightarrow X$ è una cofibrazione, allora $A\times Y \hookrightarrow X\times Y$ è una cofibrazione
Svolgimento. Si considerino $f:X\times Y\rightarrow Z$ e l'omotopia $H:A\times Y \rightarrow \underline{\mathrm{Map}}(I,Z)$ tali che il seguente diagramma commuti:
\[
\begin{array}[c]{ccc}
A\times Y&\rightarrow&\underline{\mathrm{Map}}(I,Z)\\
\downarrow& &\downarrow\\
X\times Y&\rightarrow &Z
\end{array}
\]
Ciò è equivalente a dire che il seguente diagramma è commutativo:
\[
\begin{array}[c]{ccc}
A&\rightarrow&\underline{\mathrm{Map}}(I,\underline{\mathrm{Map}}(Y,Z))\\
\scriptstyle{i}\downarrow& &\downarrow\\
X&\rightarrow &\underline{\mathrm{Map}}(Y,Z)
\end{array}
\]
Applico l'ipotesi che $A \hookrightarrow X$ è una cofibrazione, quindi esiste $\overline H : X\rightarrow \underline{\mathrm{Map}}(I,\underline{\mathrm{Map}}(Y,Z))$ tale che:
\[
\begin{array}[c]{ccc}
A&\rightarrow&\underline{\mathrm{Map}}(I,\underline{\mathrm{Map}}(Y,Z))\\
\scriptstyle{i}\downarrow&\nearrow &\downarrow\\
X&\rightarrow &\underline{\mathrm{Map}}(Y,Z)
\end{array}
\]
L'esistenza di $\overline H$ è equivalente all'esistenza di $\overline H: X \times Y \rightarrow \underline{\mathrm{Map}}(I,Z)$ che rende commutativo:
\[
\begin{array}[c]{ccc}
A\times Y&\rightarrow&\underline{\mathrm{Map}}(I,Z)\\
\downarrow&\nearrow &\downarrow\\
X\times Y&\rightarrow &Z
\end{array}
\]
Segue l'asserto. $\square$
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