Acknowledgements!

The time you get used to it, you have to leave...

Venerdì sera, Cambridge. Inizia l'ultimo weekend, e si comincia a sentire che le ultime ore qui scivolano via. Credo sia arrivato il momento dei ringraziamenti!

Vorrei innanzitutto ringraziare i responsabili dell'organizzazione: il direttore del Dipartimento di Matematica dell'Università degli Studi di Bari, il Prof. Francesco Altomare, il Responsabile scientifico del Progetto Messaggeri della Conoscenza, il Prof. Enrico Jannelli, e i Responsabili amministrativi, la Dott.ssa Roberta Peschiulli e il Dott. Enzo Torino.
Ringrazio sinceramente anche il Dott. Lorenzo Orecchia e il Dott. Bruno Benedetti per aver proposto il progetto, e per aver tenuto l'imperdibile corso estivo Geometria, Ottimizzazione e Teoria dei Grafi.
Grazie alla Dott. Sandra Lucente, per la grande pazienza nel seguire il progetto.
Ancora grazie al Dott. Lorenzo Orecchia (ti tocca due volte!) per essere stato un importante riferimento durante i giorni passati a Cambridge.
Ringrazio i professori che hanno tenuto i corsi, tutti davvero interessanti, da me seguiti (o solo studiati, causa sovrapposizioni(*)):
Lorenzo Orecchia - Seminar in Theoretical Computer Science
Jacob Fox - Probabilistic Methods in Combinatorics
Michael Artin - Introduction to Algebraic Geometry
Johnatan Kelner - Topics in Theoretical Computer Science: an algorithmist's toolkit
Mark Behrens - Algebraic Topology (*)
E ancora, grazie a tutti i matematici che ho avuto occasione di incontrare e conoscere, e a tutti coloro che hanno tenuto seminari.

Questa è stata una esperienza così enormemente importante, così densa di contenuti, che credo debba ancora realizzare quanto abbia significato per me, matematicamente e non: ho avuto la possibilità di partecipare a lezioni di livello estremamente avanzato, di capire come viene spiegata e studiata la matematica al Massachusetts Institute of Technology(!), e di conoscere persone che vengono da posti disparati, ognuno con una sua storia, la sua meravigliosa storia (un'altra cosa che mi affascina dell'America!)



Finally I want to thank the people I met here, and changed my days for the better: Dr. Chelsea Walton, Rachel, Eva, Renee, Francesco, Zhenyu, Madalina. I wish I could spend more time here, in order to know you better and... have another cookie together! You are a reason to come back!

This experience was so important, so dense of contents, that I think I still have not fully appreciated how much it meant to me, mathematically and not: I had the chance to take high-level classes, to see how Mathematics is explained and studied at Massachusetts Institute of Technology (!), and to know people from a lot of different places, everyone with their wonderful story (another thing I like about America!).

Season finale - Discretizing Morse Theory, an algorithmic approach

Vorrei sinceramente ringraziare il Prof. Lorenzo Orecchia per avermi invitato a dare un piccolo seminario, Discretizing Morse Theory: an algorithmic approach, riguardo il mio lavoro di tesi con il Prof. Bruno Benedetti. Devo un ringraziamento anche a Vitantonio per esserci stato e aver scattato le fotografie che trovate in questo post.

Simple Person's Applied Math Seminar (SPAMS) - Scheduling Algorithms

Il MIT non finisce mai di stupire! Oggi ho scoperto dell'esistenza di un ciclo di seminari organizzato da grad students, destinato a graduate students. Ognuno di loro espone agli altri i risultati che sta studiando in quel momento, e ci si confronta in un ambiente più familiare, in cui lo speaker comincia ad apprezzare la bellezza di spiegare agli altri il proprio lavoro, e gli auditori hanno opportunità di trovare nuove idee.

Nel tardo pomeriggio di oggi c'è stato il seminario Scheduling Algorithms, with Applications to Life, tenuto da Samuel Elder (MIT), estremamente interessante!

Brandeis-Harvard-MIT-Northeastern Joint Mathematics Colloquium - Small gaps between primes

Oggi si è tenuto il seminario di teoria dei numeri Small gaps between primes, tenuto da James Maynard (University of Montreal).

Spring break...

Settimana di vacanza, qui al MIT!
In realtà spero finisca presto, e no, non solo per tornare a lezione. Principalmente perché in questa settimana gran parte degli studenti e dei dottorandi che ho conosciuto hanno approfittato dei giorni di pausa per tornare a casa. E così il MIT è ancora una volta troppo silenzioso per me, come è stato i primi giorni qui.
Poco male, anche io ho colto l'occasione, e sono stato a New York. Per poco tempo, ma ci sono stato! Perché «non sei fregato veramente finché hai da parte una buona storia, e qualcuno a cui raccontarla» (A. Baricco)

Combinatorics Seminar - Rotor routing on spanning trees and planar graphs

Nel pomeriggio ho partecipato al seminario Rotor routing on spanning trees and planar graphs, tenuto da Melody Chan (Harvard University).

Combinatorics - Problem Set 3!

Perdonate la prolungata assenza di post. Sto preparando una "sorpresa" per l'ultima settimana.

Di seguito, un esercizio del terzo - e ultimo :'( - problem set di combinatoria

Esercizio. Si provi che ogni ipergrafo $3$-uniforme con $n$ vertici e $m \geq \frac{n}{3}$ lati contiene un independent set (cioé un insieme di vertici non connessi da lati) di cardinalità almeno \[ \frac{2n^{2/3}}{3\sqrt{3}\sqrt{m}} \]

Svolgimento. Sia $S$ un insieme generico di vertici dell'ipergrafo $3$-uniforme $G$, with $\mathrm{Pr}(v \in S) = p$. Sia $X = |S|$ e $Y$ il numero dei lati in $G\big|_S$. Si consideri $e = \{i, j, k\}$ un lato di $G$ e $Y_e$ la Indicator Random Variable per l'evento che $e \in G\big|_S$. Allora $\mathbb E[Y_e] = p^3$, e $\mathbb E[Y] = \sum_{e \in G}\mathbb E[Y_e]=mp^3$. Inoltre $\mathbb E[X] = np$. Allora $\mathbb E[X-Y] = np - mp^3$, pertanto, se $p$ è tra $0$ e $1$, allora esiste un particolare $S$ per cui $X - Y \geq np - mp^3$. Dunque per ogni lato in $G\big|_S$, scegliamo un vertice e lo rimuoviamo da $S$, ottenendo un insieme indipendente, in quanto un vertice è stato rimosso da ogni lato. In più, abbiamo rimosso $Y$ vertici da $S$, e quindi il nuovo insieme ha $X-Y$ vertici, con $X-Y \geq np - mp^3$. Allora esiste un independent set di cardinalità almeno $np - mp^3$, e possiamo scegliere $p$ per massimizzare $np - mp^3$. Derivando rispetto a $p$ e uguagliando a $0$, otteniamo $n - 3mp^2 = 0$, da cui $p = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{3m}} \leq 1$ (per l'ultima disuguaglianza abbiamo usato l'ipotesi $m\geq \frac{n}{3}$). Concludiamo che esiste un independent set di cardinalità almeno pari a $n\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{3m}} - \frac{m n^{3/2}}{(3m)^{3/2}} = \frac{2n^{2/3}}{3\sqrt{3}\sqrt{m}}$. $\square$